DIDÁCTICA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

Hildebrando Luque Freire, M.Sc.

 Los profesores han observado que hay alumnos que pueden reconocer un cuadrado, pero no definirlo. Igualmente hay alumnos que no entienden que un cuadrado es un rectángulo o que no entienden por qué deben demostrar algo que ya "saben" acerca de las propiedades geométricas.

Nuestro cuerpo ocupa un lugar en el espacio como todo lo que es materia, independientemente de su fase. Nuestros movimientos y en general todos los fenómenos naturales de dan en el espacio tridimensional de nuestro universo. La percepción de los fenómenos, así como del espacio y sus propiedades, constituye información que debe ser procesada en nuestros cerebros para la comprensión y la decisión de acción. Ello obliga a construir paulatinamente en nuestros cerebros una representación del espacio en que vivimos, lo cual empieza desde que nacemos y necesita ser acompañada por una serie de actividades apropiadas para lograr tal fin. La imaginación tridimensional, entre otros muchos aspectos, es el resultado de nuestras experiencias espontáneas o escolarizadas.

La representación que construimos está basada en la geometría de Euclides que tiene más de 20 siglos de elaborada, además de las geometrías topológica y proyectiva.

I.  NIVELES DE COMPRENSIÓN DEL MODELO DE VAN HIELE.

El modelo de Van Hiele para la enseñanza de la Geometría comprende cinco niveles de comprensión relacionados con los procesos de pensamiento. Estos niveles son:

          1. Visualización

          2. Análisis

          3. Deducción informal

          4. Deducción formal

          5. Rigor

Nivel 1: Visualización

·       Los estudiantes son conscientes del espacio como algo existente alrededor de ellos.

·       Los conceptos geométricos son vistos como entidades totales y no tanto los componentes y atributos de los mismos.

·       Los alumnos aprenden vocabulario geométrico, identifican formas; dada una figura la pueden reproducir.

Nivel 2: Análisis

·       Se inicia un análisis de los conceptos geométricos.

·       A partir de la observación y la experimentación concreta y directa, los estudiantes empiezan a discernir sobre las características de las figuras.

·       Las propiedades emergentes de la experiencia concreta son usadas para conceptuar clases de formas.

·       Se reconoce que las figuras tienen partes y que son reconocidas por esas partes.

·       No se pueden explicar las relaciones entre las propiedades.

·       Aún no se ven las interrelaciones entre las diferentes figuras.

·       No se entienden todavía las definiciones rigurosas.

Nivel 3: Deducción informal

·       Se pueden establecer las interrelaciones entre las propiedades de cada figura y también entre las figuras.

·       Se pueden deducir propiedades de una figura y reconocer las clases de figuras.

·       Se comprenden las clases de inclusión.

·       Las definiciones tienen significado y son comprendidas.

·       Se pueden dar y seguir argumentos informales acerca de los conceptos.

·       Los resultados obtenidos empíricamente se usan junto con técnicas deductivas.

·       No se comprende el significado de la deducción como un todo o el rol de los axiomas.

·       Las demostraciones formales pueden entenderse, sin embargo, no saben cómo puede alterarse el orden lógico.

·       No ven cómo construir una demostración partiendo de premisas diferentes o no familiares.

Nivel 4: Deducción formal

·       Se entiende el significado de la deducción como una manera de establecer la teoría geométrica dentro de un sistema axiomático.

·       Se ven las interrelaciones y roles de los términos indefinidos, axiomas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones.

·       Los alumnos pueden construir demostraciones usando más de una manera.

·       Se entiende la interrelación entre las condiciones necesarias y suficientes.

·       Se distingue entre una proposición y su recíproca.

Nivel 5: Rigor

·       El alumno puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos y compararlos

II.   PROPIEDADES DEL MODELO

El modelo enfatiza aspectos importantes en el desarrollo de la formación del pensamiento geométrico.

1. Secuencialidad

De acuerdo a la mayor parte de teorías del desarrollo, cada alumno debe pasar por todos los niveles, en orden.

Para funcionar exitosamente a un nivel particular, el alumno debe haber adquirido las estrategias de los niveles precedentes.

2. Avance

El progreso de un nivel a otro depende más de los contenidos y métodos de instrucción que de la edad.

No hay método pedagógico que permita que un alumno ignore un nivel.

3. Intrínseco y extrínseco

Los objetos geométricos trabajados en un nivel, siguen siendo objetos de estudio en el siguiente.

4. Lingüística

Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones que conectan los símbolos.

Una relación que es "correcta" a un nivel puede ser modificada a otro nivel.

5. Concordancia

Si el alumno está a un nivel y la instrucción está en otro nivel, puede no ocurrir el aprendizaje y progreso deseado.

III.   FASES DEL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA

El método y la organización de la enseñanza, así como el contenido y los materiales usados son problemas pedagógicos a resolver teniendo las siguientes fases como guías.

Fase 1: Interrogación

El profesor y los alumnos conversan sobre los objetos de estudio del nivel.

Se hacen observaciones, se plantean preguntas y se introduce un vocabulario específico al nivel.

El profesor se informa del conocimiento previo que tienen los alumnos sobre el tópico.

Fase 2: Orientación dirigida

Los alumnos exploran el tópico de estudio con materiales que el profesor ha secuenciado cuidadosamente.

Las actividades deben revelar gradualmente al alumno las estructuras características del nivel.

Fase 3: Explicación:

Los alumnos expresan e intercambian sus visiones emergentes sobre las estructuras que han sido observadas, construyendo sobre sus experiencias previas.

El rol del profesor es mínimo, reduciéndose a asistir a los alumnos en el uso cuidadoso y apropiado del lenguaje.

Fase 4: Orientación libre

Los alumnos enfrentan retos más complejos. Retos con muchos pasos que pueden ser resueltos de varias formas.

Los alumnos encuentran sus propios caminos para resolver retos.

Orientándose ellos mismos en el campo de la investigación, muchas relaciones entre los objetos de estudio se hacen explícitas a los alumnos.

Fase 5: Integración

Los alumnos revisan y resumen lo que han aprendido sobre los objetos y sus relaciones, con el objetivo de tener una vista panorámica.

El profesor puede apoyar esta síntesis exponiendo visiones globales.

Es importante que los resúmenes no incluyan algo nuevo.

 

EXPERIENCIAS (ACTIVIDADES)

NIVEL I: VISUALIZACIÓN

Las formas geométricas son reconocidas sobre la base de su apariencia física como un todo.

1. Manipular, colorear, doblar y construir formas geométricas

2. Identificar una forma o una relación geométrica

a) En un dibujo simple

b) En dibujos complejos, bloques,

c) En una variedad de orientaciones

d) Incluyendo objetos físicos de la clase, el colegio, la casa, fotografías, etc.

e) En otras formas geométricas

3. Crear formas.

a) Copiando figuras en papel con puntos, con grillas, usando geoboards

b) Dibujando figuras

c) Construyendo figuras con palitos, sorbetes, bloques, etc.

4. Describir verbalmente formas geométricas y constructos usando un lenguaje apropiado estándar o no.

a) Un cubo luce como una "caja"

b) Las "esquinas" son ángulos

5. Trabajar en problemas que pueden ser resueltos a través de la manipulación en diversas formas, midiendo y contando.

Hallar el área de la tapa de una caja cuadriculándola y luego contando.

Usar dos triángulos para construir un rectángulo.