DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS: INICIAL Y PRIMARIA

Hildebrando Luque Freire, M.Sc.

 

I.  OBJETIVOS GENERALES

1.  Formar una estructura y disciplina del pensamiento que lleve a los estudiantes a razonar lógicamente, expresarse con exactitud, hacer uso de su inteligencia, imaginación y creatividad.

2.  Capacitar a las personas para desenvolverse en un mundo altamente tecnificado donde la vinculación de las matemáticas con el resto de las ciencias se hace cada vez más intensa y la divulgación de elementos tecnológicos requiere de una mente preparada para servirse de ellas.

3.  Permitir que se desarrollen operativamente las estructuras mentales de los estudiantes haciendo que su interés sea por las operaciones sobre los objetos y por los objetos mismos

I.     OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1.  Cálculo numérico

· Realizar las operaciones matemáticas con números enteros, racionales, decimales, irracionales y complejos con exactitud y velocidad razonable.

· Reconocer los valores cardinales, ordinales y de posición de los números.

· Estimar los resultados previamente y realizar una adecuada prueba después de los cálculos.

· Reconocer la exactitud y precisión justificables de los resultados numéricos.

· Reconocer la eficiencia del empleo de un algoritmo en los cálculos.

2.  Expresión simbólica

· Expresar una relación cuantitativa verbal mediante el uso de símbolos.

· Escoger y distinguir entre los símbolos y sus significados.

· Buscar y descubrir nuevas relaciones a través del empleo de los símbolos.

· Realizar operaciones con variables que representan números reales o complejos.

3.  Gráficos y tablas

· Saber recoger los datos relevantes y construir tablas y gráficos.

· Formular conclusiones sobre la base de datos.

· Buscar las tendencias y los cambios rápidos, las medidas de tendencia central y dispersión, y los puntos máximos, mínimos y de inflexión.

· Saber cómo interpolar y hacer extrapolaciones justificables.

4.  Resolución de problemas

· Formular el problema y determinar la clase y alcance de la solución deseada.

· Analizar la solución y reconocer las variables o factores que afectan a la solución.

· Elegir y aplicar las operaciones aritméticas o algebraicas apropiadas para la solución.

· Someter a prueba la solución buscando su consistencia interna.

· Buscar una solución nueva y más general.

5.  Forma y percepción del espacio

· Saber cómo emplear la regla, el transportador, las escuadras y el compás en las construcciones y mediciones básicas.

· Conocer las ideas fundamentales de la topología, geometría euclidiana y la proyectiva.

· Saber cómo calcular áreas y volúmenes de las figuras y sólidos comúnmente conocidas.

· Emplear los sistemas internacional e inglés de unidades y hacer conversiones del uno al otro.

· Estimar la magnitud de los ángulos, áreas, volúmenes y distancias.

· Reconocer la simetría, semejanza, congruencia y perspectiva en la naturaleza y dibujos.

· Entender el empleo del dibujo en escala y las mediciones indirectas.

6.  Naturaleza de la demostración

· Diferenciar entre mostrar (intuición) y demostrar (deducción) lógicamente propiedades.

· Entender el papel de los términos no definidos, las definiciones, postulados y teoremas previamente demostrados en un desarrollo lógico.

· Demostrar si la inversa de un enunciado determinado puede ser verdadera.

· Valorar sus conclusiones y otras reconociendo los supuestos implícitamente aceptados.

· Aplicar las relaciones básicas demostradas en figuras planas y sólidos.

7.  Habilidades

· Recordar definiciones, notaciones, operaciones, conceptos y propiedades.

· Desplegar automatismos para calcular y manipular rápida y acertadamente.

· Interpretar y transformar datos simbólicos y sus relaciones.

· Aplicar conceptos y propiedades matemáticas al resolver problemas.

· Razonar y demostrar inductiva y deductivamente.

· Representar las características de un fenómeno real a través de modelos y simulaciones.

· Descubrir relaciones ocultas entre diversas situaciones y variables.

III.      LINEAMIENTOS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

1.  Enseñar matemática actualizada incluyendo las áreas conocidas y las matemáticas discretas (lógica, algoritmos, teoría de grafos y juegos, conteos, gramáticas y lenguajes autómatas, redes, probabilidades, estadística), todo ello relacionado con la realidad.

2.  Enseñar la matemática fuertemente unificada por medio de los conceptos básicos y de las estructuras fundamentales.

3.  Desarrollar la matemática conceptual junto con la habilidad para el cálculo.

4.  Enseñar la matemática tanto como un cuerpo de conocimientos abstractos como un útil instrumento operacional.

5.  Enseñar la matemática como una disciplina en continua expansión.

6.  Promover la motivación y el desarrollo de actitudes positivas hacía la matemática.

IV.           MÉTODO DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

El método que se propone para la enseñanza de las Matemáticas no es una novedad completa, pero tiene el respaldo de haber sido diseñado y aplicado en Israel y en el Colegio León Pinelo desde 1985 con resultados bastante buenos en la construcción de una base matemática sólida en los primeros grados de Primaria y sus efectos multiplicativos y aceleradores en la Secundaria y la Universidad peruana y extranjera.

En nuestros tiempos sigue ocurriendo una revolución en los métodos de enseñanza debido a varias razones:

1. El desarrollo de las ciencias sigue extendiendo la dimensión del conocimiento y jamás conseguiremos enseñar todo el material ni comunicar el progreso de la ciencia y sus innovaciones. Las nuevas tendencias defienden el desarrollo del pensamiento creativo, puesto que no se puede convertir a los niños en enciclopedias andantes por medio de la acumulación de conocimientos y detalles en sus cerebros, sino que debemos enseñarles los principios, las relaciones y las estructuras que aplicarán en los problemas y la vida.

          Bruner: La calidad, y no la cantidad, es importante.

2. Las investigaciones psicológicas han aclarado los procesos a través de los cuales se desarrolla el razonamiento abstracto y se crean las nociones y los conceptos de base. Las conclusiones indican la relación existente entre la experiencia concreta y manipulativa del estudiante y el desarrollo de su capacidad de razonamiento, arrojando así nueva luz sobre el papel primordial de la actividad en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

          Piaget: El razonamiento no se desarrolla sino por medio de la acción.

3. El fenómeno de la actividad social ayuda a explicar los cambios en la conciencia y fundamenta una teoría psicológica que unifica el comportamiento y la mente. El entorno social influye en la cognición por medio de sus " instrumentos", es decir, sus objetos culturales, su lenguaje y sus instituciones sociales. El cambio cognitivo es el resultado de utilizar los instrumentos culturales y el entorno en las interrelaciones sociales y de internalizarlas y transformarlas mentalmente.

          Vigotsky: El aprendizaje es consecuencia de la interacción de los individuos y su entorno.

4. La importancia de la orientación constructivista constituye sin duda, el consenso emergente en la enseñanza de las matemáticas y las ciencias naturales y sigue siendo una aportación relevante. Esta orientación está basada en tres principios:

a)  Quienes aprenden construyen significados. No reproducen simplemente lo que leen o lo que escuchan cuando se les enseña.

b)  Comprender algo supone establecer relaciones. Los fragmentos de información aislados son olvidados o resultan inaccesibles a la memoria.

c)  Todo aprendizaje depende de los conocimientos previos del que aprende, no del que enseña.

  Ausubel: Los nuevos conceptos aprendidos se incorporan a otros conceptos o ideas previos.

V.             CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO DE ENSEÑANZA

Espíritu del Método.

El método se fundamenta sobre principios de aprendizaje y razonamiento generales producto de las investigaciones psicológicas. Este es un método ambiental, en el sentido que extrae sus temas del marco de intereses diarios del estudiante, los cuales están adaptados a su edad y producen en él curiosidad y deseos de ocuparse de ellos. En todo tema seleccionado del ambiente, hallamos la significación matemática sobre la cual planteamos problemas realistas adicionales, lo cual amplía y profundiza desde lo concreto a lo abstracto, y de lo abstracto de vuelta a lo concreto. El estudiante desarrolla interés en el número mismo, comprende las relaciones entre los números, conceptos, definiciones, propiedades y algoritmos para proceder según las leyes matemáticas. Así, él desarrolla gradualmente un razonamiento matemático.

Características del trabajo en clase.

En la clase reina una atmósfera de laboratorio. La enseñanza no se basa en el verbalismo y la actitud frontal, sino en la actividad propia, individual y grupal de los estudiantes. La finalidad de la sesión es conocida por el profesor y está clara para el estudiante. Se conserva el suspenso de desafíos a lo largo de toda la lección.

Cada estudiante actúa con medios concretos, a su manera y de acuerdo a su propia iniciativa. Las maneras diversas son presentadas ante la crítica colectiva (y no del profesor). La comprobación es observable, ¿cuál es correcto y por qué?, ¿debido a qué se cometió una equivocación específica? y así sucesivamente. El estudiante no titubea al presentar su enfoque ante la crítica de sus compañeros, puesto que la crítica es temática y no personal y porque el profesor alienta la expresión de opiniones.

El aprendizaje de cada estudiante se realiza a través del descubrimiento personal de las relaciones, conexiones, leyes, principios y estructuras matemáticas. Cuando el estudiante realiza una tarea para descubrir algo, él es activo, tiene iniciativa y participa en la formación de la idea matemática. Consecuentemente, él cultiva una "filosofía" e independencia.

Los estudiantes aprenden a expresarse en forma verbal y a explicar sus conclusiones. La atmósfera positiva social, intelectual y de estudios reinantes es reconocible por sus proyecciones también en otras asignaturas. Por medio de las actividades matizadas, la discusión y la crítica de las maneras diversas, se desarrolla una flexibilidad en el razonamiento de los estudiantes, lo cual conduce a su vez a matizar las maneras del trabajo del estudiante, y también lo conduce a deducir un hecho después de otro. Cada estudiante seleccionará para sí la manera adecuada y correcta, de entre las múltiples maneras presentadas en la crítica frontal.

Posición del profesor

El profesor todavía no está en el centro de la lección. Lo principal de su trabajo consiste en la planificación de las unidades de aprendizaje, las lecciones diarias y en el acompañamiento del suspenso para el aumento de la motivación a la hora de la lección.

A la hora de la actividad concreta e individual de los estudiantes y su confrontación con el desafío, el profesor los dirige en forma discreta por medio de comentarios o preguntas provocativas en la dirección deseada; los anima a relatar lo que realizaron y lo que descubrieron; los alienta a la crítica y a las discusiones. Las preguntas del profesor se reducen a: ¿por qué?, ¿cómo puede ser?, ¿estás tú seguro?, etc. las que obligan al estudiante a demostrar sus afirmaciones.

El profesor no explica, los estudiantes explican. El profesor no generaliza ni resume las conclusiones, sino que son los estudiantes quienes lo hacen, en su propio lenguaje, en palabras comprensibles para ellos. Así se construyen las nociones primero y después los conceptos matemáticos.

VI.           FASES DEL MÉTODO

1. Fase concreta tridimensional.

Los estudiantes son activos. Ellos no tienen que "atender y concentrarse", sino que actúan por sí mismos con los recursos y objetos variados, comprendiendo claramente el objetivo.

Después de la actividad individual o grupal viene la crítica colectiva, acompañada de la expresión verbal. Esta es una traducción de la actividad concreta al lenguaje coloquial. Un paso efectuado por un estudiante, llega a la conciencia de todos por medio de la crítica colectiva.

Por lo general se acostumbra que las acciones realizadas por un estudiante no sean explicadas por él mismo, sino por algún otro estudiante, creando así una identificación.

2. Fase representativa gráfica.

Luego del análisis de la actividad, viene la etapa de la descripción gráfica, la traducción del acontecimiento concreto a dibujos. Los objetos son representados por dibujos cualesquiera acompañados por símbolos y signos matemáticos que expresen las acciones realizadas. También aquí se realiza una crítica colectiva, por medio de la analogía de descripciones diversas y sus análisis. Así se realiza la anexión de los dibujos estáticos a la actividad dinámica: ¿Observan ustedes en el dibujo lo que ha ocurrido?

3. Fase abstracta simbólica.

La expresión matemática usando los símbolos y signos propios es la etapa de abstracción. Esta fase caracterizada por el uso del lenguaje matemático prescinde de los objetos y los gráficos y es analizada desde el punto de vista significativo.

Para asegurarse de que los símbolos y signos no estarán desconectados de la realidad que los ha creado, se buscará la dirección contraria: desde el lenguaje matemático hacia el dibujo y de allí hacia la reconstrucción de la actividad. Esto tiene orientaciones múltiples en los tipos de símbolos y en los grados de dificultad de ellos.

La explicación verbal sola carece de la fuerza para crear conceptos en la mayoría de los niños. Siempre se deberá adjuntar la explicación verbal del estudiante al dibujo y después a los símbolos y viceversa.

Para resumir: Los estudiantes están ocupados durante todo el desarrollo de la lección en actividades, crítica, explicación, expresión de opiniones, dibujo, análisis, reconstrucción, anotación en expresiones matemáticas y cálculos diversos. Ellos "investigan", descubren y sacan conclusiones sobre la base de las manipulaciones perceptivas.

Se sabe que el estudiante se libera en forma gradual de la necesidad de la actividad muscular y de las manipulaciones con objetos concretos y las representaciones gráficas. Desde el inicio de los años de la adolescencia, él es capaz de actuar por medio de "operaciones formales", que se expresan en actividades internas, en el trato abstracto de símbolos, sin la necesidad de ayudarse con objetos ni con manipulaciones y gráficos.

VII.         ESTRATEGIAS

El método implica tres posibles estrategias o momentos que el profesor deberá seleccionar y aplicar en los tiempos que considere pertinentes en el desarrollo de las lecciones.

1.  Matemática guiada.

El profesor modela y guía a sus estudiantes a través de un concepto o destreza matemática. La matemática guiada no es el foco primario de un programa o lección de matemáticas. Puede ser usada en varios tiempos y para varios propósitos. Refuerza un concepto o destreza específico. Introduce los nuevos conceptos y destrezas necesarios para resolver un problema. Enseña convenciones específicas como la formación de numerales. Modela el lenguaje matemático, el pensamiento matemático y la resolución de problemas. Introduce procesos específicos como nuevas estrategias y algoritmos particulares para uso de los estudiantes.

2.  Matemática compartida.

Realización de actividades por medio de una colaboración social en un esfuerzo grupal. Esto trae consigo necesariamente la comunicación entre los estudiantes mismos. Esta comunicación es un factor cualitativo en el desarrollo intelectual. Se denomina "cooperación", vale decir: operación común o aprendizaje colaborativo. Provee oportunidades a los estudiantes para aprender uno del otro. Promueve la discusión de ideas. Involucra a los estudiantes en trabajo colaborativo para resolver un problema o investigar una idea matemática.

3.  Matemática independiente.

Los estudiantes trabajan individualmente para consolidar sus aprendizajes en una forma denominada autoaprendizaje. Saben que pueden contar con la ayuda del profesor cuando lo requieran. Permite que los alumnos trabajen a su propio ritmo y desarrollen independencia, perseverancia y autoconfianza. Provee oportunidades para que los estudiantes desarrollen, consoliden y apliquen sus propias estrategias o destrezas. Auspicia que los estudiantes hagan elecciones de forma independiente. Facilita que cada estudiante pueda demostrar lo que sabe y lo que puede hacer.

VIII.        FINALIDADES DE TODA LECCIÓN

Deben enfatizarse dos tipos de finalidades de las lecciones:

-  Concretos: Adquisición de conocimientos y algoritmos a partir de actividades diversas; trabajo en ejercicios matemáticos variados; desarrollo de destrezas y técnicas en la solución de problemas de diversa índole.

-  Formales: Desarrollo del razonamiento lógico, la comprensión de los conceptos, la demostración de las propiedades y la construcción de la estructura matemática.

Todas las lecciones deben tener además del desarrollo de nociones y conceptos, un tratamiento cuidadoso de comparaciones y diferenciaciones, una creación de generalizaciones, un tratamiento de relaciones, principios y estructuras matemáticas, el cultivo de un enfoque flexible para la solución de problemas por medio de la iniciativa personal, osadía en la presentación de ideas y una actitud crítica para todas las actividades. La intención radica en desarrollar la capacidad intelectual y adquirir maneras de razonamiento y métodos de trabajo.

Para conseguir dichos objetivos, los profesores deberán reflexionar acerca de sus formas y estilos de trabajo anteriores y hacer una evaluación consciente sobre aquellas partes que se sientan obligadas a perfeccionar y actualizar.

Los profesores deben planificar debidamente la lección, experimentar con sus propias manos lo que los estudiantes están destinados a experimentar posteriormente, estar conscientes de los objetivos concretos y formales.

No solamente el qué es importante sino principalmente el cómo. No debe haber la intención de enseñarle al estudiante mucho material, más bien enseñarle cómo estudiar.

El profesor deberá encontrar maneras y técnicas destinadas a cultivar una participación elevada de todos los estudiantes del aula en el transcurso de la lección, en cada uno de los grados. Asimismo, debe cultivar y propiciar la iniciativa de cada estudiante, darle conciencia de progreso y sentimiento de satisfacción en sus estudios.

Es lastimoso cada minuto de la lección que los profesores invierten en dictarle al estudiante qué hacer; es como que si los empujaran a los estudiantes hacia atrás. La mejor explicación del mundo que venga de boca del profesor, no convencerá al estudiante a conocer y comprender por ejemplo la conservación de la cantidad Más bien, las muchas manipulaciones que los estudiantes realicen (mover, separar, juntar, etc.) sí convencerá al niño que la cantidad no cambiará. Lo mismo ocurre en la comprensión de la propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación, la propiedad distributiva de la multiplicación y la división, el concepto de operaciones inversas, la división de fracciones o la conexión entre las progresiones geométricas y la función exponencial, etc.

La razón de la importancia de la actividad en el aprendizaje es que a la edad de los niños corresponde la etapa de las operaciones concretas. El niño puede razonar, elaborar comparaciones y llegar a conclusiones, solamente en situaciones concretas; puede imaginar y preparar una operación (razonamiento) en base a una situación concreta. El niño carece todavía de un razonamiento abstracto.

IX.           ESTUDIO DE LA ESTRUCTURA

El objetivo primordial de las Matemáticas es el estudio de su estructura, es decir, el estudio de las leyes, propiedades, reglas, conceptos, algoritmos, funciones y relaciones.

Las operaciones matemáticas son solamente la parte técnica del cálculo. Debemos enseñar el cálculo de tal manera que cada operación y algoritmo esté cimentada en las definiciones, conceptos, propiedades y relaciones matemáticas. Por supuesto, la intención no es enseñar a los estudiantes conceptos y propiedades matemáticas en sus formas convencionales, sino en sus usos en situaciones de la vida real.

X.             DIDÁCTICA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

La geometría ha sido aprendida por un estudiante cuando ha logrado construir en su cerebro una representación del espacio y de las formas y propiedades de las figuras y cuerpos. La Topología, la Geometría Euclidiana y la Geometría Proyectiva constituyen los aspectos básicos de la formación geométrica de los estudiantes.

Los profesores han observado, por ejemplo, que hay estudiantes que pueden reconocer un cuadrado, pero no definirlo. Igualmente hay alumnos que no entienden que un cuadrado es un rectángulo o que no entienden por qué deben demostrar algo que ya "saben" o que es “obvio” a simple vista.

El modelo más extendido para la enseñanza de la Geometría comprende cinco niveles de comprensión relacionados con los procesos de pensamiento. Estos niveles son:

Nivel 1: Visualización

· Los estudiantes son conscientes del espacio como algo existente alrededor de ellos.

· Los conceptos geométricos son vistos como entidades totales y no tanto los componentes y atributos de los mismos.

· Los estudiantes aprenden vocabulario geométrico, identifican formas. Dada una figura la pueden reproducir.

Nivel 2: Análisis

· Se inicia un análisis de las nociones y conceptos geométricos.

· A partir de la observación y la experimentación concreta y directa, los estudiantes empiezan a discernir sobre las características de los sólidos y las figuras.

· Las propiedades emergentes de la experiencia concreta permiten conceptuar clases de formas.

· Se reconoce que los sólidos y figuras tienen partes y que son reconocidas por esas partes.

· Aún no se pueden explicar las relaciones entre las propiedades geométricas.

· Todavía no se ven las relaciones entre los diferentes sólidos y figuras.

· No se entienden todavía las definiciones rigurosas; solamente las definiciones operacionales.

Nivel 3: Deducción informal

· Se pueden establecer las relaciones entre las propiedades de cada sólido y figura y también entre sólidos y figuras.

· Se pueden deducir propiedades de sólidos y figuras y reconocer las clases de sólidos y figuras.

· Se comprenden las clases de inclusión de sólidos y figuras.

· Las definiciones tienen significado y son comprendidas.

· Se pueden dar y seguir argumentos informales acerca de los conceptos.

· Los resultados obtenidos empíricamente se usan junto con técnicas deductivas.

· No se comprende el significado de la deducción como un todo o el rol de los postulados.

· Se entienden las demostraciones formales, pero no saben cómo alterar el orden lógico.

· No ven cómo construir una demostración partiendo de premisas diferentes o no familiares.

Nivel 4: Deducción formal

· Se entiende el significado de la deducción como una manera de establecer la teoría geométrica dentro de un sistema axiomático.

· Se ven las relaciones y roles de los términos indefinidos, axiomas, postulados, definiciones, teoremas, lemas, corolarios y demostraciones.

· Los estudiantes pueden construir demostraciones usando más de una manera.

· Se entiende la interrelación entre las condiciones necesarias y suficientes para una propiedad.

· Se distingue plenamente entre una proposición y su recíproca.

Nivel 5: Rigor

· El estudiante puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos y compararlos.

· Pueden descubrir y realizar demostraciones rigurosas de nuevas propiedades.

· Construyen fácil y correctamente las figuras y las líneas correspondientes a una situación narrada.

XI.           PROPIEDADES DEL MODELO

El modelo enfatiza aspectos importantes en el desarrollo de la formación del pensamiento geométrico.

1. Secuencialidad

De acuerdo a la mayor parte de teorías del desarrollo, cada estudiante debe pasar por todos los niveles, en orden. Para funcionar exitosamente en un nivel particular, el estudiante debe haber adquirido las estrategias de los niveles precedentes.

2. Avance

El progreso de un nivel a otro depende más de los contenidos y métodos de instrucción que de la edad. No hay método pedagógico que permita que un estudiante ignore un nivel.

3. Intrínseco y extrínseco

Los objetos geométricos trabajados en un nivel, siguen siendo objetos de estudio en el siguiente.

4. Lingüística

Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones que conectan los símbolos. Una relación correcta en un nivel puede ser modificada a otro nivel.

5. Concordancia

Si el estudiante está a un nivel y la instrucción está en otro nivel, puede no ocurrir el aprendizaje y progreso deseado.

XII.         FASES DEL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA

El método y la organización de las sesiones de aprendizaje, así como el contenido y los materiales usados son problemas pedagógicos a resolver teniendo las siguientes fases como guías.

Fase 1: Interrogación

El profesor y los estudiantes conversan sobre los objetos de estudio del nivel.

Se hacen observaciones, se plantean preguntas y se introduce un vocabulario específico al nivel.

El profesor se informa del conocimiento previo que tienen los estudiantes sobre el tópico.

Fase 2: Orientación dirigida

Los estudiantes exploran el tópico de estudio con materiales que el profesor ha secuenciado cuidadosamente.

Las actividades deben revelar al estudiante las estructuras características del nivel.

Fase 3: Explicación

Los estudiantes expresan e intercambian sus visiones emergentes sobre las estructuras que han sido observadas, construyendo sobre sus experiencias previas.

El rol del profesor es mínimo, reduciéndose al uso cuidadoso y apropiado del lenguaje.

Fase 4: Orientación libre

Los estudiantes enfrentan retos más complejos. Retos con muchos pasos que pueden ser resueltos de varias formas.

Los estudiantes encuentran sus propios caminos para resolver retos.

Orientándose entre ellos mismos en el campo de la investigación, muchas relaciones entre los objetos de estudio se hacen explícitas a los estudiantes.

Fase 5: Integración

Los estudiantes revisan y resumen lo que han aprendido sobre los objetos y sus relaciones.

El profesor puede apoyar esta síntesis exponiendo visiones globales.

Es importante que los resúmenes no incluyan algo nuevo.

XIII.        DIFICULTADES EN LA FORMACIÓN MATEMÁTICA Y FORMA DE ENFRENTARLAS

Las dificultades en la formación matemática y el modo más adecuado de prevenirlas, pasa por un conocimiento de las etapas en el pensamiento de los niños y jóvenes al objeto de adecuar los aprendizajes a las mismas.

a) Etapas en el pensamiento de los niños

-Esquemas perceptivos y motores: El pensamiento lógico matemático se inicia con la formación de los primeros esquemas perceptivos y motores para la manipulación de objetos. Ello va a permitir conocer cada objeto de modo individual y distinguir unos de otros.

-Agrupación de objetos: A continuación, se empieza a agrupar los objetos. En un principio esta agrupación se basa en elegir los que le gustan y apartar los que no le gustan o desagrada. Después se usan otros diversos criterios de agrupación.

-Clasificación de los objetos: La agrupación es la base para la clasificación siguiendo uno o más criterios.

-Relaciones de orden y seriaciones: Sigue el establecimiento de semejanzas y diferencias y estableciendo equivalencias del tipo mayor que ….. , menor que ……  y las seriaciones realizadas conforme a criterios establecidos. Ello les permite adquirir de forma intuitiva el concepto de continuidad y utilizar nociones de mucho, poco, algunos …..

Una de las causas más frecuentes de las dificultades en el aprendizaje de las operaciones matemáticas es el enseñar las operaciones precozmente, cuando el niño no está maduro ni capacitado para ello. Profesores y familias, en ocasiones presionan a los alumnos/hijos para que alcancen lo antes posible este aprendizaje. Lo que suele ocurrir es que el niño aprende de forma mecánica y verbal los automatismos de las operaciones, pero no interioriza el concepto y significado de la operación.

La competencia matemática sigue un proceso de construcción lento y gradual, que va desde lo concreto y específico a lo abstracto y general y que las actividades concretas y manipulativas con los objetos constituyen el cimiento de esta construcción. No hay que tener mucho apuro en el paso a la representación numérica, realización de operaciones y trabajo con símbolos. Lo más importante es que el estudiante conozca y comprenda las bases conceptuales de las operaciones o algoritmos. Una vez que esto se ha logrado, podrán plantearse los automatismos, los algoritmos y las operaciones mentales rápidas.

b) Factores que intervienen en los problemas en el área de Matemáticas y que hay que tener presente al objeto de prevenirlos:

-El lenguaje. En ocasiones los estudiantes tienen problemas en Matemáticas por el desconocimiento o pobreza del vocabulario matemático, ello les crea dificultades para entender los conceptos geométricos.

-La atención. Los estudiantes que presentan dificultades de atención y concentración serán más propensos a tener problemas en matemáticas. Por tanto, es preciso generar un ambiente que minimice, en la medida de lo posible, las distracciones para estos estudiantes.

-La discriminación audiovisual. Cuando un niño presenta problemas perceptivos, de discriminación visual o auditiva, tenderá a confundir e invertir números, símbolos y figuras.

-El cambio de roles. Los estudiantes asumen el rol del profesor para demostrar cómo se resuelven los ejercicios. Se afirman tanto estrategias y procesos cognitivos: lectura (comprensión); parafraseo (traducción); visualización (transformación); hipotetización (planificación); estimación (predicción), cálculo y comprobación (evaluación). También habilidades metacognitivas: uso y conocimiento de estrategias (auto instrucciones y auto cuestionamiento) y control de las estrategias (auto monitorización).

c) Aspectos educativos relacionados con la interacción profesor-alumno:

-Crear un clima general de motivación para facilitar el apoyo al que aprende, libre de ansiedad negativa, ordenado y creativo.

-Definir y ofrecer objetivos significativos y claros conectados con los intereses, habilidades y con la realidad. Se trata de contextualizar los contenidos del aprendizaje para hacerlos más cercanos y activar otros procesos de aprendizaje como la creatividad o el pensamiento crítico.

-Diseñar y mostrar a los estudiantes herramientas de aprendizaje en la línea de estrategias de autoaprendizaje que les faciliten el acceso significativo al conocimiento.

-Crear una comunidad de aprendizaje que favorezca el aprendizaje colaborativo, aspecto característico del paradigma educativo actual donde el docente es un mediador y ambos, docente y discente, aprenden e intercambian conocimientos.

-Propiciar experiencias de éxito, mantener expectativas positivas hacia el trabajo de los estudiantes, ajustar la tarea a las posibilidades reales del estudiante (trabajar en la zona de desarrollo próximo), cuidar la autoestima, valorar el esfuerzo, la voluntad, la dedicación (aspectos afectivos importantes para la consecución de cualquier objetivo).

XIV.       EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

A.   EDUCACIÓN INICIAL: LAS CAPACIDADES BÁSICAS

Cuando el niño ingresa al primer grado, se espera que tenga desarrolladas ciertas capacidades básicas acerca de relaciones, conjuntos y números, operaciones aritméticas, geometría y patrones. En caso que los niños de primer grado no las tengan o las tenga parcialmente desarrollas dichas capacidades, será conveniente planificar lecciones para resolver la situación. Una lista no exhaustiva de las capacidades básicas de los niños egresados de la educación inicial es la siguiente:

I. RELACIONES

Lograr la comprensión y uso de las relaciones entre objetos y sus atributos, desarrollando la memoria y la capacidad de argumentación.

4 AÑOS

a)  Relaciones de tamaños opuestos: alto - bajo, grande - pequeño (chico).

b)  Relaciones de distancia opuestas: cerca - lejos.

c)  Relaciones de posición opuestas: arriba - abajo, juntos - separados, encima - debajo, aquí - allá, delante - detrás, dentro - fuera.

d)  Relaciones de dimensión opuestas: largo - corto, delgado - grueso, angosto - ancho.

e)  Relaciones de tiempo: antes - después - ahora, mañana - tarde - mediodía, ayer - hoy - mañana, temprano - tarde, empezar - terminar, rápido - lento.

5 AÑOS

a)  Relaciones de tamaño: más alto que - más bajo que, el más alto - el más bajo, más grande que - más pequeño que, el más grande - el más pequeño.

b)  Relaciones de distancia: más cerca que - más lejos que, el más cercano - el más lejano.

c)  Relaciones de posición: izquierda - derecha, al lado - al frente - al medio, más arriba que - más abajo que.

d)  Relaciones de dimensión: más largo que - más corto que, el más largo - el más corto, más delgado que - más grueso que, el más delgado - el más grueso.

e)  Relaciones de tiempo: día - mediodía, noche - medianoche, días de la semana, meses del año, estaciones, lectura del tiempo.

f)    Relaciones de peso: pesado - liviano, más pesado que - más liviano que, el más pesado - el más liviano.

g)  Relaciones de capacidad: lleno - vacío - medio lleno, contiene más que - contiene menos que, el que más contiene.

h)  Relaciones de superficie: más extensa que - menos extensa que, la más extensa - la menos extensa.

II. CONJUNTOS Y NÚMEROS

  Lograr la comprensión del concepto de conjunto y de los números asociados a la cantidad.

4 AÑOS

a)  Clasificación de objetos según color, forma, tamaño, uso.

b)  Correspondencia uno a uno entre elementos de dos conjuntos por relación funcional.

c)  Noción de cantidad: uno - pocos - muchos, más - menos – igual, más que - menos que, ninguno - algunos - todos, igual - diferente, falta - sobra.

d)  Números cardinales: 0 al 5 con objetos y asociados a expresión escrita y verbal.

e)  Números ordinales: primero al quinto; primero - último.

f)    Fracciones: mitad.

5 AÑOS

a)  Definición de conjuntos: elemento, pertenencia.

b)  Cantidad: más - menos - igual, nada - parte - todo, mayor que - menor que, cuántos - cuántos más - cuántos menos, cada uno - ambos.

c)  Clasificación de objetos según dos criterios simultáneos.

d)  Números cardinales: 6 al 10; contar del 1 al 20; recta numérica.

e)  Números ordinales: sexto al décimo.

f)    Fracciones: cuarto.

III. OPERACIONES ARITMÉTICAS

  Lograr la comprensión y expresión de las relaciones operacionales entre cantidades.

4 AÑOS

a)  Suma: uno más que, tantos como.

b)  Resta: uno menos que.

5 AÑOS

a)  Suma: signo más (+), igualdad (=), cambio de lugar, recta numérica.

b)  Resta: signo menos (-), operación inversa, recta numérica.

IV.      GEOMETRÍA

  Lograr la comprensión y reconocimiento de relaciones espaciales de forma y dimensión.

4 AÑOS

a)  Topología: curva abierta - curva cerrada, superficie abierta – superficie cerrada, interior - exterior - borde.

b)  Euclidiana: cubo, esfera, cilindro, prisma; cuadrado, círculo, rectángulo, triángulo.

5 AÑOS

a)  Topología: nodos, agujeros, figuras y formas equivalentes.

b)  Euclidiana: punto, línea recta - línea curva, recta vertical – recta horizontal – recta inclinada; rombo, elipse, trapecio, paralelogramo; pirámide, cono, elipsoide; vértices, lados, aristas, caras.

V.       PATRONES (MODELOS)

  Identificación, reconocimiento y construcción de patrones.

4 AÑOS

Modelos de secuencias de objetos diferentes 1 - 1, 2 - 2, 3 - 3, 1 - 2, 2 - 2.

5 AÑOS

Modelos de secuencias de objetos iguales: 1 - 3, 2 - 3, 3 - 3.

B.   PRIMER GRADO: LAS CUATRO OPERACIONES

El problema metodológico que se presenta es ¿cómo hacer llegar las cuatro operaciones del cálculo a los estudiantes de primer grado para que éstos descubran en ellas los conceptos básicos del curso?

Por ejemplo, si los niños ponen un palito separador en algún lugar entre 8 bolitas o chapitas, leerán, por un lado, 5 + 3 que son 8 y por el otro lado 3 + 5 que son 8; es decir que 5 + 3 = 3 + 5. (Regla del cambio en la suma = propiedad conmutativa de la suma).

Si pasan el palito separador de un sitio a otro, encontrarán distintos sumandos para el 8

                    4 + 4 = 8                 6 + 2 = 8                 7 + 1 = 8

y según esto podrán anotar expresiones equivalentes para la cantidad 8:

                    7 + 1                       6 + 2                       5 + 3       4 + 4

                    1 + 7                       2 + 6                       3 + 5

y también igualdades como:

          2 + 6 = 3 + 5 = 1 + 7 = 4 + 4

          7 + 1 = 1 + 7 6 + 2 = 2 + 6 5 + 3 = 3 + 5 (Propiedad conmutativa de la suma)

Y si ponen 2 palitos separadores entre las 8 bolitas y las dividen en 3 grupos, encontrarán 3 sumandos como 4 + 3 + 1, los cuales podrán agruparse así:

          4 + (3 + 1) = (4 + 3) + 1                (Propiedad asociativa de la suma).

En un buen libro de Matemáticas, el profesor podrá ver qué frecuente es el uso de las propiedades matemáticas: conmutatividad, asociatividad, distributividad, composición y descomposición de cantidades, inversión de operaciones, etc. lo que indica el estudio de la estructura.

1.    Noción de número

La noción de número se desarrollará por medio de actividades variadas desde el punto de vista ordinal, cardinal y relacional.

a) Noción ordinal

Los números están ordenados. Un recurso importante en la enseñanza de la noción ordinal del número es la recta numérica. El niño verá que cada número está encuadrado en un sistema de números y que además tiene un lugar fijo en el ordenamiento.

Por ejemplo: 5 está entre 4 y 6; 5 es mayor que 4 en uno y menor que 6 en uno; 5 está después del 3 y antes que el 8.

La enumeración de carpetas según su orden, la enumeración de niños según el orden en que se sientan, la enumeración de las páginas del libro, la enumeración de las hojas del cuaderno, etc., todas éstas son operaciones para el conocimiento de la noción ordinal del número.

Debemos diferenciar claramente entre enumerar y contar. Enumeración es la fijación de un número a cada uno de los objetos según su orden (enumeración de las páginas de un libro). Contar es la fijación de un número a toda una cantidad (el libro tiene 120 páginas).

La enumeración es posible al tomar objetos de una caja y ordenarlos en fila, expresando un número por cada objeto. Hay pues enumeración en el momento de estar tocando los objetos o usando solamente la vista. El peligro que existe en la enumeración es la falta de coordinación entre enunciar oralmente el nombre del número y la ubicación del objeto enumerado; asimismo en la elección de tono y el ritmo al decir los números en forma mecánica. La recitación de los números en forma ascendente y descendente, de uno en uno, dos en dos, etc. no es señal de conocimiento de la enumeración conceptual. Cuando el niño esté en condiciones de completar rectas numéricas avanzando o retrocediendo o encontrar relaciones entre números, estará llegando a la fase de la enumeración conceptual.

b) Noción cardinal

La noción cardinal del número significa el conocimiento de la cantidad asociada al conjunto. Toda cantidad es la unión de unidades. Para conocer el número de unidades de las cuales se compone el conjunto y las relaciones entre ellas, hay que trabajar con el conjunto conservando su integridad.

Para esto es conveniente realizar actividades con diversos objetos concretos y separar el conjunto en varios subconjuntos. Ejemplo: en un conjunto de cinco bolitas, hacemos las siguientes separaciones usando palitos separadores:

  O  /  OOOO             OO  /  OOO            O  / OOO /  O             O  / OO /  OO

  1  +  4  =  5           2  +  3  =  5            1  +  3  +  1  =  5         1  +   2   +   2   =   5

Así los niños conocerán todas las posibilidades de composición y descomposición de los números especialmente de las dos primeras decenas. Para el 5:

                    3 + 1 + 1  =  5                              2 + 2 + 1  =  5

                    1 + 1 + 3  =  5                              2 + 1 + 2  =  5

Hay que acostumbrar a los niños a la lectura en ambas direcciones, para afianzar la noción de cambio de lugar (propiedad conmutativa) en la suma:

                    1 + 4  =  5                          3 + 2  =  5

                     4 + 1  =  5                          2 + 3  =  5

Además, el acercamiento de los estudiantes a la propiedad de inversión de la operación, de suma a resta (operaciones inversas):

                    1 + 4  =  5                          2 + 3  =  5

                    5 - 1  =  4                           5 – 2  =  3

                    5 – 4  =  1                          5 – 3  =  2

Trabajando el conjunto de esta forma, al niño se le aclarará que la cantidad permanece constante (conservación de la cantidad) a pesar de su separación en distintas partes y al ordenamiento de sus partes en distintas formas, ya que no hemos aumentado el número de unidades, ni hemos quitado unidades.

La comprensión de la invariabilidad de la cantidad o la conservación de la cantidad, a pesar de la separación en distintas formas, es una de las señales más importantes del desarrollo del concepto de número.

Los 5 objetos en el grupo arriba mencionado pueden estar dispersos o juntos; ser de distintos tamaños, formas, colores; es más, pueden ser de distintas clases (piedras, chapitas, naranjas, plátanos), pueden ser trasladados de un lugar a otro; en todos los casos la cantidad no cambiará porque el número de unidades no ha sido cambiado.

c) Noción relacional

Con todas las ventajas que tiene el desarrollo del concepto de número y de conservación de la cantidad, existe una desventaja y es que todo el tiempo nos ocupamos de la misma cantidad sin relación alguna a otras cantidades. Necesitamos relacionar una cantidad con otras. Ayuda mucho abordar las relaciones de desigualdad entre los diferentes números y las posibilidades de producir desigualdades.

Para el aprendizaje de la noción de relación, hay que relacionar el número con otros números: ¿En cuánto es mayor 7 que 6? ¿En cuánto es menor 9 que 12? Este es el significado de relación entre dos números.

Si frente a cada uno de los elementos de un conjunto hay siempre uno y solamente uno de un segundo conjunto, decimos que existe una relación uno a uno (biunívoca) entre los dos conjuntos. Si ordenamos en una fila 7 sillas y paramos en frente a 5 niños, cada uno frente a una silla, tendremos 2 conjuntos: conjunto de niños y conjunto de sillas. Hay un niño frente a cada silla solamente hasta la quinta silla, pero hay 2 sillas frente a las cuales no hay niños. No hay pues relación biunívoca entre sillas y niños.

Por medio de operaciones como éstas con objetos, dibujos, mondadientes, bolitas, piedras, chapitas y regletas, el niño adquirirá la noción de igualdad y desigualdad. A la hora de la comparación hay que plantear una serie de preguntas para el aprovechamiento completo de la operación: ¿dónde hay más?, ¿cuánto más? ¿dónde hay menos? ¿cuánto menos?, ¿qué haremos para que sean iguales? Después de obtener una igualdad entre los dos conjuntos, preguntaremos nuevamente: ¿cómo fue antes?

Al comienzo hay que comparar conjuntos de objetos (fase concreta); luego hacerlo con figuras (fase gráfica) y finalmente con números y escribir entre ellos <, > ó = (fase abstracta) según corresponda.

          2 + 2  =  1 + 3                    2  <  5                               5  >  3

y después expresiones como:

          1 + 7  <  10                        2 + 6  >  5 + 1                    10 – 4  >  3 + 2

En el enfoque matemático de la enseñanza hay que acentuar mucho las igualdades y las desigualdades para el desarrollo de la comprensión de las ecuaciones.

2.    Enseñanza de las 4 operaciones matemáticas

Hasta ahora vimos que no se puede alcanzar el concepto de número sin conocer sus varios significados. Por ejemplo, los significados del número 10 no solo incluyen a los sumandos del 10 sino también a la resta de cada subconjunto del 10.

                    9 + 1             1 + 9                       10 – 1           10 - 6

                    8 + 2             2 + 8                       10 – 2           10 - 7

                    7 + 3             3 + 7                       10 – 3           10 - 8

                    6 + 4             4 + 6                       10 – 4           10 - 9

                    5 + 5                                           10 - 5

También a la descomposición en los factores y divisores del 10 y las relaciones lógicas entre ellos, como:

          5 x 2  =  10              10 : 2  =  5              ½ x 10  =  5

          2 x 5  =  10              10 : 5  =  2               1/5 x 10  =  2

Según esto, el programa de estudio desde el primer grado debe incluir, además de la suma y la resta, a las operaciones de multiplicación y división, así como las fracciones para la obtención de partes del conjunto.

Las 4 operaciones matemáticas se estudian en 2 ciclos concéntricos:

- suma y resta juntas

- multiplicación, división y fracciones de conjuntos juntos.

3. Suma y Resta

a) La propiedad de la inversión entre suma y resta y entre multiplicación y división sacan a la operación matemática de su aislamiento, y en vez de enseñar una sola operación con entrenamiento y ejercitación unidireccional, hay que enseñar las operaciones y sus inversas. Así se desarrolla en el niño sus habilidades intelectuales, señales del pensamiento matemático tales como las capacidades de asociatividad y reversibilidad. En estos dos ciclos concéntricos veremos el entrelazamiento de las operaciones.

b) Una primera etapa en la enseñanza de la suma y la resta, es la descomposición del conjunto en subconjuntos, en todas las formas posibles y su composición posterior.

c) Una segunda etapa será la unión de conjuntos distintos. En un plato hay naranjas y en otro hay mandarinas; los juntaremos en un solo plato de frutas.

d) Tercera etapa: suma avanzando y resta retrocediendo. Avanzaremos desde la tercera casa, 4 casas más; de la sexta página del libro, 3 páginas más. También en la recta numérica avanzando y retrocediendo.

4. Multiplicación, División y Fracción

a) La multiplicación es la suma repetida. La división es la resta repetida. La primera etapa en la enseñanza de la multiplicación y la división será la descomposición del conjunto en conjuntos iguales.

          4 + 4  =  2 x 4                    3 + 3 + 3  =  3 x 3              2 + 2 + 2 + 2  =  4 x 2

Los niños se formarán de a 2, de a 3, de a 4. ¿Cuántos niños hay en una fila? ¿Cuántas filas hay? ¿Cuántos niños hay en total? Hay que acostumbrar a los niños a las dos formas de expresar lo ocurrido: la suma de conjuntos iguales: 4 + 4 = 8 y la multiplicación 2 x 4 = 8.

Los niños ordenarán 12 huevos en un molde de 3 filas iguales. Las expresiones a anotar serán:

Dos sumas con sumandos iguales:         4 + 4 + 4  =  12          3 + 3 + 3 + 3  =  12

Dos formas de multiplicación:                 3 x 4  =  12                4 x 3  =  12

De aquí pasarán a la división:

¿Cuántos cuartetos hay en 12?              12 : 4  =  3

¿Cuántos tríos hay en 12?                     12 : 3  =  4

Luego, la expresión de parte de la cantidad:

En una de las 3 filas hay 1/3 de 12 huevos:

  1/3 x 12  =  4         ó en notación inversa         4  =  1/3 x 12

En una de las columnas hay 1/4 de 12 huevos:

  1/4 x 12  =  3         y en notación inversa:        3  =  ¼ x 12

5.Escritura de expresiones matemáticas

Es deseable que durante un largo tiempo, el niño anote expresiones de operaciones reales que fueron hechas por él y no expresiones vagas o hechas por otros.

El niño puso delante de sí nueve botones y los ordenó en parejas; escribirá:

          2 + 2 + 2 + 2 + 1  =  9                   o                   (4 x 2) + 1 = 9         etc.

Tres momentos habrá en cada actividad: (1) manipulación o ejecución, (2) expresión oral o recitación correcta de lo relevante a la operación, (3) escritura de las expresiones.

6.Enunciados y ecuaciones con una incógnita

a)  Los enunciados pueden ser verdaderos o falsos.

Ejemplo de enunciados verdaderos:

  Desigualdades verdaderas:        3 < 6             8 > 5

  Igualdades verdaderas:              2 + 3  =  5     2 x 4  =  8     2 x 3 + 1  =  7

Ejemplo de enunciados falsos:

  Desigualdades falsas:                3 > 6             8 < 5

  Igualdades falsas:                      2 + 3  =  6     2 x 3  =  8     2 x 3 + 1  =  8

b)  La ecuación y la inecuación no son enunciados porque no puede determinarse si son verdaderos o falsos debido a que les falta un número que se desconoce.

                    2 + n  =  5               8  =  n x 4                3 + n  <  8

Si en la ecuación se anota un número adecuado en lugar de la letra n, ésta se convertirá en un enunciado verdadero:

                    2 + 3  =  5               8  =  2 x 4                3 + 4  <  8

Si en la ecuación se escribe un número no adecuado en lugar de la letra n, ésta se convertirá en un enunciado falso:

                    2 + 4  =  5               8  =  8 x 4                3 + 9  <  8

7.    Aprendizaje manipulativo

El aprendizaje de la estructura, es decir la enseñanza de principios, conceptos y nociones de las matemáticas, está relacionado con la enseñanza manipulativa. El descubrimiento de las propiedades conmutativa, distributiva y asociativa es posible creando situaciones cuantitativas concretas adecuadas. Si se saca del método la fase manipulativa, se saca el alma del aprendizaje de la estructura.

La manipulación es el manejo con las manos, de objetos concretos o de dibujos de objetos del mundo, o de símbolos o de rectas numéricas o ábacos. El uso de todos estos elementos para contar, comparar, identificar, descomponer, componer, completar, etc., constituye la primera etapa en cada unidad de aprendizaje. En cada clase habrá una extensa manipulación con objetos, bolitas, palillos, dibujos o representaciones de objetos y al final con rectas numéricas y ábacos.

La manipulación es apropiada si es graduada en el sentido de la percepción y si es multifacética, variada y adecuadamente secuenciada. Hay que usar distintos objetos, uno detrás de otro, para que el niño ignore la especificidad de cada clase de objetos y descubra lo común en todas las operaciones en el sentido matemático. Esta es la forma aconsejable para la interiorización y la generalización.

El peligro de los textos y cuadernillos de trabajo es que en lugar de la manipulación con objetos concretos, los niños aprendan de frente con dibujos que representan objetos; es decir; ellos saltan la primera y más importante fase en la enseñanza de la matemática significativa.

El libro (al igual que las TICs) es un instrumento y aparecerá solamente en la etapa de conclusión y de ejercitación y no en las fases previas de aprendizaje de algo nuevo: concreto-gráfico-simbólico. Las demostraciones del profesor tampoco pueden reemplazar la manipulación de cada niño.

La psicología del aprendizaje acentúa las ventajas de las enseñanzas manipulativas concretas, en el sentido de la concentración y la atención de los alumnos y sus impresiones; así como la posibilidad del autodescubrimiento del niño.

Las enseñanzas manipulativas concretas plantean obligatoriamente el problema de los medios de apoyo o de ayuda. Las clases de medios o sus precios y presentaciones no determinan las formas de enseñanza y su eficiencia, sino las formas de uso. Se pueden usar los medios para la enseñanza de técnicas de cálculo que lleven a la mecanización, lo cual no es un uso correcto. El uso que desarrolla un razonamiento lógico es el uso correcto.

Debemos preocupamos por impartirles a los niños hábitos de trabajo y agilidad en la manipulación de los objetos.

8.    Diagnóstico y seguimiento

El desarrollo de los temas de matemáticas debe ser acompañado por un seguimiento sistemático. Cada día, pero especialmente cada semana, debe verificarse los avances, logros y dificultades de los estudiantes. También al finalizar el estudio de cada unidad (números en el caso de primer grado) se debe examinar el material asimilado por los estudiantes. Cada falla o falta de comprensión que se descubra, requiere atención inmediata para evitar que el retraso se acumule en un estudiante o en el grupo total.

XV.         EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

Las competencias son un saber complejo, resultado de la movilización y adecuación de capacidades, conocimientos, actitudes y habilidades utilizados eficazmente en situaciones reales diversas.

Las competencias básicas ayudan a definir qué es lo importante y al hacerlo no dejan jamás de lado los contenidos, ya sean máximos o mínimos. Las competencias básicas son trasferibles pues se aplican en múltiples situaciones y contextos para conseguir distintos objetivos, resolver problemas variados y realizar diferentes tipos de trabajos. Son transversales e interdisciplinares a las áreas curriculares porque su aprendizaje no es exclusivo de una de ellas.

Formar ciudadanos responsables y comprometidos; personas autónomas, comprender el sentido de la existencia; aprender a aprender y a pensar; adquirir el conocimiento que le permita seguir aprendiendo por sí mismo a lo largo de toda la vida, etc. Saber si hemos conseguido estas y otras muchas competencias, esa es la labor de control y diagnóstico de la evaluación.

La evaluación por competencias exige cambios en la mentalidad de los profesores y en su praxis didáctica. El desarrollo y evaluación de las competencias obliga a los profesores a un trabajo en equipo con enfoque multidisciplinar, poniendo de relieve el saber hacer de los estudiantes, en niveles crecientes de interiorización, complejidad y abstracción.

El cambio hacia la enseñanza y evaluación por competencias sigue siendo un reto para los profesores.

En el currículo por competencias el formato de examen tradicional es insuficiente pues no ayuda a conocer si el estudiante es capaz de utilizar las habilidades y destrezas que ha desarrollado cuando tenga que enfrentar situaciones en lo personal, familiar y laboral.

Cuando se evalúan competencias se recomienda emplear los instrumentos tradicionales que llevan a una calificación y la basada en criterios donde se evalúa los desempeños de cada estudiante en función de las competencias. Hasta ahora lo que más se emplea es el primer tipo de instrumentos. Sin embargo, hay la necesidad de emplear ambos instrumentos y no fusionar los dos en uno solo.

La evaluación más importante es la basada en criterios. Ella mide hasta dónde llega el estudiante después que se ejecuta una programación curricular donde se combina los procesos, conocimientos y actitudes. La medición es por naturaleza comparativa: al momento de iniciarse el aprendizaje de una competencia y al momento de evaluar la consecución de la misma. Por tanto, se distinguen tres momentos en la evaluación: al inicio, durante el proceso y al final de la intervención.

Al momento de evaluar una competencia el docente debe tener en cuenta varios factores.

El esfuerzo en adquirir las capacidades necesarias para poseer una competencia. Como es natural, en un salón de clases pueden existir estudiantes que partan con una base más sólida de adquisición de una competencia que otros. Quien hace los mayores progresos en relación al punto de partida es el que debe recibir una mayor valoración.

Dado que la evaluación de los conocimientos es solo una de las aristas de la evaluación, es muy importante que los docentes desarrollen competencias que les permitan ser buenos observadores en el monitoreo del progreso en la adquisición de una competencia.

Los docentes deben poner énfasis en la observación de los siguientes aspectos:

a)  La capacidad de análisis que tienen los estudiantes frente a una situación problema.

El docente debe esforzarse en crear o simular en clase las situaciones reales problemáticas que los estudiantes necesitan resolver. Hay que trabajar situaciones suficientemente complejas como las que se presentan en la vida diaria; que tengan más variables de las que se necesitan para ser resueltas. Hacerlo con metodologías activas, participativas y que hagan posible que los estudiantes se organicen de manera flexible en el aula

En base a las situaciones reales o simuladas, el docente debe observar cómo los estudiantes analizan y toman decisiones y cómo eligen los esquemas de actuación que han aprendido para resolver la situación. La forma de actuar en la resolución de un problema o situación está determinada por los conceptos y contenidos de hechos y datos de base, las actitudes y procedimientos que el estudiante ha acumulado en su formación y en la capacidad de aprovecharlos. Diferentes formas de actuación se van ganando con la práctica y con el desarrollo de actitudes se van consolidando comportamientos e incorporando una escala de valores que van siendo más o menos estables.

b)  Evaluación diferenciada

Los instrumentos para evaluar competencias varían en función del tipo de contenido que se necesita para lograr la competencia e ir asumiendo esquemas de actuación adaptados a las situaciones que se vayan enfrentando. La evaluación por competencias supone una gradualidad en su adquisición; por ello a los estudiantes se los puede clasificar en etapas de inicio, de proceso o de logro de la competencia. Esta es la razón por la que se recomienda que sea el equipo de docentes los que evalúen las competencias que van adquiriendo grupos de estudiantes.

c)  Evaluación colectiva

Uno de los rasgos más característicos y distintivos de la evaluación por competencias es que resulta muy difícil que un profesor disponga del tiempo necesario, tanto para enseñar como para evaluar una competencia. Por su carácter interdisciplinario y porque en la evaluación no solo interviene un factor de observación, sino que hay que realizar muchas observaciones, la recomendación es hacerla por grupos de estudiantes y tomando como referente el trabajo conjunto del colectivo de profesores que podría estar apoyado por portafolios de evidencias. Los docentes saben que la evaluación por competencias es de por sí onerosa en tiempo y esfuerzo.

Racionalizar el esfuerzo de evaluar grupos de estudiantes es importante no solo por el número de estudiantes en las clases, sino porque ellos pueden tener necesidades de reforzamiento diferentes. Para ilustrarlo, en el caso de la resolución de un problema matemático específico pueden darse diferentes situaciones: que unos se equivoquen en el concepto que se debe aplicar; que otros sepan el concepto que hay que aplicar pero que no sepan utilizarlo; un tercer grupo puede ser el que sabiendo emplearlo se equivocan en el procedimiento; finalmente puede haber un cuarto grupo en el que hay falta de interés o gusto por las matemáticas. Para cada uno de estos grupos los profesores serán más efectivos si aplican estrategias diferenciadas.

Recordar que en la evaluación por competencias interesan los resultados del aprendizaje y el proceso que conduce al mismo. En ellos importa monitorear a los estudiantes para observar en qué medida van siendo competentes en lo que fue programado. Como es sabido, hay una estrecha relación entre los procesos de aprendizaje y los resultados que se obtienen.

XVI.     MATERIALES Y RECURSOS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

XVI.La enseñanza que utiliza materiales didácticos tiene que cambiar la disposición del aula, convertirla en taller o laboratorio de Matemáticas, con mayor protagonismo de la enseñanza indirecta, en la que el alumno desarrolla conocimientos a partir de su trabajo con materiales.

Materiales didácticos

Absolutamente todo tipo de material es útil para las actividades constructivas de los estudiantes en su formación matemática. Depende de la voluntad, el ingenio y la versatilidad del profesor la elección y adecuado uso de los materiales que estén a su disposición dentro y fuera de la escuela.

Algunos materiales frecuentemente utilizados son los siguientes: Recta numérica; ábaco; geoplano; tarjetas con números y símbolos; fichas de colores; tablero de unidades y decimales; círculo de fracciones; tiras de fracciones; círculo de ángulos; varillas; rompecabezas 3D; calculadora gráfica o computadora, etc.

Recursos TIC por niveles

1.    Infantil (de 0 a 6 años)

Las aventuras de Troncho y Poncho: Vídeo para que los más pequeños empiecen a familiarizarse con las operaciones con números naturales.

Pelayo y su pandilla: Material didáctico multimedia interactivo para que los alumnos empiecen a practicar el manejo del ratón a la vez que trabajan las series numéricas.

Tus primeros números: Actividades con las que los niños podrán aprender que los números sirven para contar todo lo que deseen: juguetes, coches, animales, personas, etc.

2.    Primaria (de 6 a 12 años)

Matemáticas simpáticas I: Actividades y ejercicios en los que los alumnos podrán trabajar las operaciones básicas a través de problemas que plantean diferentes personajes.

Mercado matemático mágico: Recurso con actividades y ejercicios para trabajar las fracciones y los decimales. Hay 8 niveles de dificultad.

MatemáTICas: Web en la que los típicos problemas no se plantean como tales, sino como retos. Hay disponibles aplicaciones para desarrollar las estrategias necesarias para solucionarlos.

Matemáticas simpáticas II: Actividades interactivas de matemáticas ideales para repasar los números naturales y sus operaciones algebraicas básicas, así como la medida de peso/masa.

Problemas matemáticos: Conjunto de ejercicios, juegos didácticos y problemas matemáticos en los que se trabajan los conceptos matemáticos principales.

Miguemáticas: Canal de You Tube con explicaciones accesibles sobre diferentes temas.

Matecitos, donde podrás encontrar una gran variedad de explicaciones centradas en matemáticas para alumnos de Primaria. También disponen de canal de YouTube aquí

Matemáticas Online: Página web completa organizada por niveles y material específico.

Math Game Time: Juegos, vídeos y ejercicios organizados en diferentes niveles y temas.

Retomates: Juegos para los alumnos y recursos para los propios profesores.

Mundoprimaria: Muy visual y con ejercicios separados en diferentes cursos y categorías.

3.    Secundaria (de 12 a 16 años)

Teorema de Pitágoras: El Teorema de Pitágoras y comprobar sus aplicaciones prácticas.

Juegos matemáticos: Web con distintos ejercicios para trabajar la lógica matemática como seriaciones, secuencias, rompecabezas geométricos, ecuaciones con palabras, etc.

Tocamates: Web en la que se proponen actividades para practicar las matemáticas a través de ejercicios en los que es necesaria aplicar la creatividad en la manipulación de objetos.

La Importancia de las Matemáticas para la Vida: Vídeo ilustrado sobre la importancia de las matemáticas. Puede ser un buen recurso para motivar a los alumnos, ¿no crees?

MisMates: Refuerza los contenidos de matemáticas de Secundaria (Universidad de Oxford).

Ejercicios de Matemáticas: Apuntes, exámenes, juego que están organizados por temas.

Amo las mates: Ejercicios, problemas, juegos, cuadernos de trabajo organizados por niveles educativos Primaria, Secundaria y Bachillerato.

Marcia Levtius: Trabaja la destreza lógico-matemática, rompecabezas geométricos, series y secuencias, ecuaciones con palabras. Problemas con soluciones para la autocorrección.

Sangakoo: Red colaborativa para alumnos a partir de 12 años cuyo objetivo es plantear un método de estudio de las matemáticas basado en la colaboración y la creatividad.

Geogebra: Se define como una ‘calculadora gráfica’ con la que trabajar conceptos de geometría, álgebra, cálculo o estadística. Innumerables recursos para docentes y estudiantes.

Seeing Theory: Introducción a conceptos de probabilidad y estadística.

Khan Academy: Todo un clásico especialmente de las matemáticas.

Recursos TIC por temas

1.    Aritmética

Math Cilenia: Minijuegos para practicar operaciones básicas para alumnos de Primaria.

Math Jump para Android e iOS. Retos aritméticos para ir avanzando niveles.

Calculadoras matemáticas. Para hacer operaciones de forma rápida y sencilla.

Ábaco online. Para representar los valores de posición de diferentes números.

2.    Geometría

Descartes. Trabajo en geometría, crear gráficos de álgebra, estadística o funciones.

Geogebra. Software multiplataforma para simulaciones de álgebra con la geometría’.

Geometría Dinámica. Funciones y gráficas, probabilidad y estadística y aritmética y álgebra.

Dièdrom. Construcción de objetos 3D.

3.    Álgebra

Math Papa. Resuelve ecuaciones paso a paso para comprender el proceso.

Wiris. Construir y resolver expresiones algebraicas. Hay una opción más sencilla para Primaria.

4.    Funciones y gráficas

Desmos. Aplicación online para representar y estudiar funciones de forma gráfica.

Algeo Graphing Calculator. Aplicación para Android con la que se pueden introducir y dibujar funciones de forma sencilla desde el móvil o la tableta.

 

 

ÍNDICE

I.        Objetivos generales de la enseñanza de las matemáticas

II.      Objetivos específicos

III.    Lineamientos para la enseñanza de las matemáticas

IV.    Método de enseñanza de las matemáticas

V.     Características del método de enseñanza

VI.    Fases del método

VII.  Estrategias

VIII.    Finalidades de toda lección

IX.    Estudio de la estructura

X.     Didáctica de la enseñanza de la geometría

XI.    Propiedades del modelo

XII.  Fases del aprendizaje de la geometría

XIII.    Dificultades en la formación matemática y cómo enfrentarlas

XIV.    Dos ejemplos ilustrativos

A.    Capacidades básicas de la Educación Inicial

B.    Las cuatro operaciones en primer grado de Primaria

XV. Evaluación por competencias

XVI.    Materiales y recursos para la enseñanza de las matemáticas